無理関数の積分（√(a²-x²) 型の三角置換）
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要点
√(a²−x²)でx=a sinθと置換するのは、a²−a²sin²θ=a²cos²θとなり、平方根がa|cosθ|になって根号が外れるから。θの範囲を−π/2≦θ≦π/2に取ればcosθ≧0となり絶対値も外れる。三角関数の恒等式sin²+cos²=1を使って根号の中を完全平方の形にする、というのが三角置換の本質。
こんなときに使う
- √(a²−x²)を含む積分はx=a sinθと置換する
- √(x²+a²)を含む積分はx=a tanθと置換する
手順
- 1. 適切な置換（sin型かtan型）を選ぶ
- 2. θの範囲を決めて絶対値を外す
- 3. 置換した積分を計算する
例題
∫[0→1]√(1−x²)dxを求めよ。
解答
- x=sinθと置換。半径1の四分円の面積に一致するのでπ/4
落とし穴
- 置換後のθの範囲を確認せず絶対値の処理を誤る
- 置換後の変数の範囲を取らずに符号を誤る
なぜ大事か
円・楕円の面積が絡む積分の処理。図形的意味で検算できる
東大での出方
円・楕円の面積が絡む積分の処理。図形的意味で検算できる。
確認問題
- ∫[0→2]√(4−x²)dxを求めよ
前提になるノード
「積分法」のノード
- 不定積分の基本形（微分の逆）
- 置換積分（型の判別）
- 部分積分（何を微分側に置くか）
- 有理関数の積分（部分分数分解）
- 三角関数の積分（次数下げ・積和・t=tan(x/2)）
- 無理関数の積分（√(a²-x²) 型の三角置換）
- 定積分の性質（偶奇・周期・区間の対称性）
- 定積分と漸化式（I_n を n で結ぶ）
- 積分で定義された関数の微分（微積分学の基本定理）
- 区分求積法
- 積分と不等式（面積比較・評価）
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。