媒介変数表示（円・楕円・サイクロイド）
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要点
円のパラメータ表示(a cos t, a sin t)は、tを0から2πまで動かすと単位円周上をちょうど1周してすべての点を過不足なく通過するという三角関数の性質そのもの。楕円は円をy方向にb/a倍縮めたものなので(a cos t, b sin t)になる。この対応関係を理解していれば、新しい曲線のパラメータ表示も自分で組み立てられる。
こんなときに使う
- 円・楕円をパラメータ表示するときは三角関数の周期性を使う
- 面積・長さの計算で媒介変数表示が与えられたら置換積分として扱う
手順
- 1. 曲線の定義（円、楕円など）を確認する
- 2. 三角関数を使ってパラメータ表示を組み立てる
- 3. 微積分が必要ならdx/dt, dy/dtを計算する
例題
x=2cos t, y=2sin tはどんな曲線か。
解答
- x²+y²=4cos²t+4sin²t=4（原点中心・半径2の円）
落とし穴
- tの動く範囲を確認せず、曲線の一部しか表せていないことに気づかない
- パラメータの動く範囲と曲線の向き（増減）を確認しない
なぜ大事か
数IIIの面積・長さ・体積計算はほぼ媒介変数で来る
東大での出方
数IIIの面積・長さ・体積計算はほぼ媒介変数で来る。
確認問題
- x=3cos t, y=2sin tが表す曲線を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「平面上の曲線」のノード
- 2次曲線（楕円・双曲線・放物線）の定義と性質
- 媒介変数表示（円・楕円・サイクロイド）
- 極座標・極方程式
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。