極座標・極方程式
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要点
極座標は点を原点からの距離rと角度θで表す方式で、直交座標との関係x=r cosθ,y=r sinθは直角三角形から直接導ける。面積の公式(1/2)∫r²dθは、微小な扇形の面積(1/2)r²Δθを足し合わせた極限として得られ、区分求積の考え方が直交座標でも極座標でも共通して使われていることを示している。
こんなときに使う
- 回転対称な図形の面積は極座標のほうが計算が楽になることがある
手順
- 1. x=r cosθ, y=r sinθで直交座標に変換する、または極方程式のまま扱う
- 2. 面積が必要なら(1/2)∫r²dθを使う
例題
極方程式r=2はどんな図形か。
解答
- 原点からの距離が常に2なので、原点中心・半径2の円
落とし穴
- 面積公式(1/2)r²Δθの由来を理解せず、単なる公式として誤用する
なぜ大事か
東大での使用頻度は低め。ただし面積計算で楽になる場面がある
東大での出方
出題頻度は低め。面積計算で楽になる場面がある。
確認問題
- 極方程式r=2cosθが表す図形を直交座標に変換して求めよ
前提になるノード
「平面上の曲線」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。