曲線の長さ・道のり
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要点
曲線の長さL=∫√(1+(y′)²)dxは、曲線を細かい区間に分割し各区間を線分（弦）で近似すると、三平方の定理より長さが√((Δx)²+(Δy)²)になり、これをΔxで括ると√(1+(Δy/Δx)²)Δxとなることから導かれる。これを足し合わせてΔx→0の極限を取ると定積分になる。公式自体は単純だが、√の中を平方完成できる形に整理する計算力が必要。
こんなときに使う
- 曲線の長さ・道のりを求める問題はこの公式（または媒介変数版）を使う
手順
- 1. y′（または媒介変数ならdx/dt,dy/dt）を計算する
- 2. L=∫√(1+(y′)²)dx（媒介変数ならL=∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²)dt）を計算する
例題
x=cos t, y=sin t（0≦t≦π）の曲線の長さを求めよ。
解答
- √(sin²t+cos²t)=1なのでL=∫[0→π]dt=π（半円の弧長）
落とし穴
- √の中を平方完成できる形に整理できず計算が進まない
なぜ大事か
公式自体は単純だが、√の中を平方完成できる形に整理する計算力が要る
東大での出方
公式自体は単純だが、√の中を整理する計算力が要る。
確認問題
- y=x^(3/2)（0≦x≦4）の曲線の長さを求めよ
前提になるノード
「積分の応用」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。