回転体の体積（x軸・y軸まわり）
アプリで開く →
進み具合を記録できるアプリ版です（ノード単位の直リンクはありません）
要点
回転体の体積の公式V=π∫y²dxは、立体をx=tで薄く切ると断面が半径|y|の円になるので、板の体積πy²Δtを足し合わせた極限として得られる。これは断面積を積分するという一般原理の特別な場合にすぎず、独立した公式ではない。領域が回転軸をまたぐときは、回転すると重なる部分が生じるため単純に足すと二重に数えてしまう点に注意が必要。
こんなときに使う
- x軸・y軸まわりの回転体はV=π∫y²dx（またはπ∫x²dy）を使う
- 領域が軸をまたぐ場合は重なりに注意する
手順
- 1. 回転軸を確認する
- 2. 断面（半径）を軸からの距離として表す
- 3. V=π∫（半径）²dで積分する
例題
y=√x（0≦x≦1）をx軸まわりに回転した体積を求めよ。
解答
- π∫[0→1]xdx=π/2
落とし穴
- 軸をまたぐ領域で重なりを考慮せず単純に積分する
- 回転させる前に領域が軸をまたぐ場合の処理（重なりの扱い）
なぜ大事か
東大の体積は毎年のように出る本丸。断面が円のとき
東大での出方
東大の体積は毎年のように出る本丸。断面が円のとき。
確認問題
- y=x²（0≦x≦2）をx軸まわりに回転した体積を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「積分の応用」のノード
- 面積（上下・左右・媒介変数・逆関数）
- 回転体の体積（x軸・y軸まわり）
- 非回転体の体積（断面積を積分する）
- 斜回転体・回転軸が座標軸でない体積
- 曲線の長さ・道のり
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。