増減・凹凸・変曲点・漸近線（グラフを描き切る）
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要点
f''>0は接線の傾きが増加すること＝曲線が下に凸であることと同値。東大の答案は正しいグラフが書けて初めて半分終わる。
こんなときに使う
- 数III の関数の性質を問われたら、増減・凹凸・変曲点・漸近線をすべて調べる習慣をつける
- 定義域の端での極限を必ず確認する
手順
- 1. f′(x)=0を解いて増減表を作る
- 2. f″(x)=0を解いて凹凸・変曲点を調べる
- 3. x→±∞や定義域の端での極限を調べ、漸近線を求める
例題
y=xe⁻ˣの増減を調べよ。
解答
- y′=e⁻ˣ(1−x)=0よりx=1。x<1で正、x>1で負なのでx=1で極大。
- x→∞でy→0（漸近線y=0）、x→−∞でy→−∞
落とし穴
- 定義域の端での挙動を無視して漸近線を見落とす
- 漸近線・端点の極限を調べない／定義域の端の挙動を無視
なぜ大事か
東大数学の答案は「正しいグラフ」が書けた時点で半分終わる。第2次導関数まで含めて完成させる訓練
東大での出方
東大数学の答案の半分を占めるとも言える、グラフ完成の技術。
確認問題
- y=(logx)/xの増減とx→∞での極限を調べよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「微分法」のノード
- 積・商の微分、合成関数の微分
- 三角関数・指数関数・対数関数の微分
- 逆関数・陰関数の微分
- 媒介変数表示された関数の微分
- 対数微分法
- 増減・凹凸・変曲点・漸近線（グラフを描き切る）
- 最大最小（実用・図形量への応用）
- 方程式の実数解の個数（数III版・定数分離とグラフ）
- 微分を用いた不等式の証明
- 平均値の定理
- 速度・加速度・近似式
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。