方程式の実数解の個数（数III版・定数分離とグラフ）
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要点
数IIで学んだ定数分離の発想を数III の関数に広げたもの。a=f(x)と分離し、y=f(x)とy=aの交点を数える。数IIIでは定義域の端で±∞や有限値に近づく漸近線が現れるため、この挙動を調べないと交点の本数を数え違える。増減表に加えて端点・漸近線での極限を必ず書き込む。
こんなときに使う
- 数IIIの関数を含む方程式の解の個数は定数分離できないか試す
- 分離できたら端点・漸近線での挙動を必ず確認する
手順
- 1. a=f(x)の形に分離する
- 2. f(x)の増減表を作る
- 3. 定義域の端・漸近線での極限を調べる
- 4. y=aとの交点をaの値によって数える
例題
xe⁻ˣ=aが異なる2つの実数解を持つaの範囲を求めよ。
解答
- f(x)=xe⁻ˣはx=1で最大値1/e。x→−∞でf→−∞、x→∞でf→+0。
- 異なる2つの解を持つのは0<a<1/e
落とし穴
- 定義域の端での挙動（漸近線）を確認せず本数を数え違える
- 分離した関数の端点での極限（±∞や有限値）を調べず本数を数え違える
なぜ大事か
東大最頻出の型の完成形。分離して y=k との交点で数える
東大での出方
東大最頻出の型の完成形。数III版の定数分離。
確認問題
- logx/x=aが異なる2つの実数解を持つaの範囲を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「微分法」のノード
- 積・商の微分、合成関数の微分
- 三角関数・指数関数・対数関数の微分
- 逆関数・陰関数の微分
- 媒介変数表示された関数の微分
- 対数微分法
- 増減・凹凸・変曲点・漸近線（グラフを描き切る）
- 最大最小（実用・図形量への応用）
- 方程式の実数解の個数（数III版・定数分離とグラフ）
- 微分を用いた不等式の証明
- 平均値の定理
- 速度・加速度・近似式
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。