対数微分法
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要点
両辺の絶対値の対数を取ってから微分する理由は、(log|y|)′=y′/yという関係がyの符号によらず常に成り立つため、符号を気にせず機械的に計算を進められるから。指数に変数がある式（xˣなど）や積が多く複雑な式では、対数を取って積を和に変えることで一気に扱いやすくなる。
こんなときに使う
- 指数に変数があるとき（xˣ型）、または積・商が多い式は対数微分法を検討する
手順
- 1. 両辺の絶対値の対数を取る：log|y|=log|f(x)|
- 2. 両辺をxで微分する（左辺はy′/y）
- 3. y′について解く
例題
y=xˣ（x>0）を微分せよ。
解答
- logy=xlogx。両辺をxで微分：y′/y=logx+1
- y′=xˣ(logx+1)
落とし穴
- 絶対値をつけずにlogを取ってしまい、yが負の場合に対応できなくなる
- 絶対値を付けずに log を取る
なぜ大事か
x^x 型、積の多い式の微分
東大での出方
x^x型、積の多い式の微分に頻出。
確認問題
- y=x^(sinx)（x>0）を対数微分法で微分せよ
前提になるノード
「微分法」のノード
- 積・商の微分、合成関数の微分
- 三角関数・指数関数・対数関数の微分
- 逆関数・陰関数の微分
- 媒介変数表示された関数の微分
- 対数微分法
- 増減・凹凸・変曲点・漸近線（グラフを描き切る）
- 最大最小（実用・図形量への応用）
- 方程式の実数解の個数（数III版・定数分離とグラフ）
- 微分を用いた不等式の証明
- 平均値の定理
- 速度・加速度・近似式
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。