最大最小（実用・図形量への応用）
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要点
図形量の最大最小を求める際、変域を先に確定させる必要があるのは、微分によって得られる数式上の候補（極値）が、実際に図形として意味を持つ範囲の外にあれば答えとして採用できないから。『数式上の最大最小』と『問題の答えとしての最大最小』のズレを防ぐのが変域の確認。
こんなときに使う
- 図形量の最大最小は、まず1つの変数で表し、その変域を確定させてから微分する
手順
- 1. 求めたい量を1つの変数で表す
- 2. その変数の変域を確認する
- 3. 微分して増減表を作り、変域内での最大最小を求める（端点も確認）
例題
周の長さが4の長方形で面積の最大値を求めよ。
解答
- 縦x、横2−x（0<x<2）。S=x(2−x)=−x²+2x=−(x−1)²+1。x=1で最大値1
落とし穴
- 変域を確認せず、実現不可能な点で最大最小を主張する
- 変数の動く範囲を出さずに微分だけする
なぜ大事か
図形の量を1変数で表してから微分、という流れ全体が問われる
東大での出方
図形の量を1変数で表してから微分、という流れ全体が問われる。
確認問題
- 体積一定の円柱で表面積を最小にする半径と高さの比を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「微分法」のノード
- 積・商の微分、合成関数の微分
- 三角関数・指数関数・対数関数の微分
- 逆関数・陰関数の微分
- 媒介変数表示された関数の微分
- 対数微分法
- 増減・凹凸・変曲点・漸近線（グラフを描き切る）
- 最大最小（実用・図形量への応用）
- 方程式の実数解の個数（数III版・定数分離とグラフ）
- 微分を用いた不等式の証明
- 平均値の定理
- 速度・加速度・近似式
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。