1のn乗根と正多角形・和の計算
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要点
1のn乗根は、zⁿ=1をr(cosθ+isinθ)の形で解くと、絶対値r=1、偏角θ=2kπ/n（k=0,…,n−1）が求まり、これは単位円をn等分する点、つまり正n角形の頂点になる。これらn個の複素数の総和が0になるのは、等比数列の和の公式(1−zⁿ)/(1−z)の分子がzⁿ=1より0になるため。対称性と等比数列の和の融合、整数問題とも合流するテーマ。
こんなときに使う
- 1のn乗根、正n角形が関係する問題はzⁿ=1の形に帰着できないか考える
手順
- 1. zⁿ=1をr(cosθ+isinθ)の形で解く
- 2. n個の解が正n角形の頂点になることを利用する
- 3. 和が必要なら等比数列の和の公式を使う
例題
1の3乗根をすべて求めよ。
解答
- 1, (−1+√3i)/2, (−1−√3i)/2
落とし穴
- 偏角の範囲を[0,2π)に収めず、解を重複して数える
なぜ大事か
対称性と等比数列の和の融合。整数問題とも合流する
東大での出方
対称性と等比数列の和の融合。正n角形が絡む問題の基盤。
確認問題
- 1の4乗根をすべて求め、その和が0になることを確認せよ
前提になるノード
「複素数平面」のノード
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