Σ計算・部分分数分解による差の形（望遠鏡和）
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要点
Σk²=n(n+1)(2n+1)/6は、(k+1)³−k³=3k²+3k+1という式をk=1からnまで足し合わせ、左辺が(n+1)³−1に潰れることから逆算して求まる。部分分数分解1/{k(k+1)}=1/k−1/(k+1)を使って和を求める方法は、隣り合う項が打ち消し合う『望遠鏡和』の典型で、数IIIの無限級数でもそのまま使う考え方。
こんなときに使う
- Σ1/{k(k+1)}のような分数の和は部分分数分解を試す
- Σk²、Σk³の公式を忘れたら(k+1)^n−k^nの展開から導く
手順
- 1. 基本公式Σk、Σk²、Σk³を使う、または導出する
- 2. 分数の和は部分分数分解して打ち消し合う形を作る
例題
Σ[k=1→n]1/{k(k+1)}を求めよ。
解答
- 1/{k(k+1)}=1/k−1/(k+1)
- Σ(1/k−1/(k+1))=1−1/(n+1)=n/(n+1)（中間の項がすべて消える）
落とし穴
- 部分分数分解の符号を間違える
- 望遠鏡和で消える項と残る項を取り違える
- Σの上端下端の対応、n=1の確認漏れ
なぜ大事か
和を閉じた形にする二大手段（公式／差の形に割る）。数IIIの無限級数へ直結
東大での出方
数IIIの無限級数へ直結する重要技法。
確認問題
- Σ[k=1→n]1/{(2k−1)(2k+1)}を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「数列」のノード
- ①② 等差数列・等比数列
- ③ 階差数列 a(n+1)−a(n)=f(n)
- ④ 和S(n)から一般項を逆算
- ⑤ Σの基本公式（k, k², k³, 等比）
- ⑥ (等差)×(等比)の和：S−rS
- ⑦ 部分分数分解で隣同士を消す
- ⑧ ルートの和は有理化して差の形
- ⑨ 対数の和は log の差に分解して消す
- ㉓ 群数列（項数と末項の通算番号）
- Σ計算・部分分数分解による差の形（望遠鏡和）
- 階差数列・Sとaの関係
- 数学的帰納法（通常・強化・二段仮定）
- 格子点の数え上げ
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。