格子点の数え上げ
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要点
格子点を直接数えるのは難しいので、直線x=kで領域を切り、各列の格子点の個数を数えて足し合わせる、という発想が基本方針になる。各列の個数を数える際にガウス記号（床関数）が必要になるのは、実数の範囲に含まれる整数の個数を数える操作そのものが、上限・下限を整数に切り捨てる作業だから。
こんなときに使う
- 領域内の格子点の総数を求める問題は、1つの変数を固定して直線で切る
手順
- 1. 直線x=k（kは整数）で領域を切る
- 2. 各kについて、その直線上にある格子点の個数を求める
- 3. kについて和を取る
例題
x≧0,y≧0,x+y≦2の格子点の個数を求めよ。
解答
- x=0のときy=0,1,2の3個
- x=1のときy=0,1の2個
- x=2のときy=0の1個
- 合計3+2+1=6個
落とし穴
- 端の点（境界上の点）を含めるかどうかで数え落とす
- 偶奇による場合分けを見落とす
- 端の点、偶奇の場合分け
なぜ大事か
「直線で切ってΣ」。領域と数列の融合、東大の定番
東大での出方
領域と数列の融合、東大の格子点問題の定番。
確認問題
- x≧0,y≧0,2x+y≦4の格子点の個数を求めよ
前提になるノード
「数列」のノード
- ①② 等差数列・等比数列
- ③ 階差数列 a(n+1)−a(n)=f(n)
- ④ 和S(n)から一般項を逆算
- ⑤ Σの基本公式（k, k², k³, 等比）
- ⑥ (等差)×(等比)の和：S−rS
- ⑦ 部分分数分解で隣同士を消す
- ⑧ ルートの和は有理化して差の形
- ⑨ 対数の和は log の差に分解して消す
- ㉓ 群数列（項数と末項の通算番号）
- Σ計算・部分分数分解による差の形（望遠鏡和）
- 階差数列・Sとaの関係
- 数学的帰納法（通常・強化・二段仮定）
- 格子点の数え上げ
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。