⑨ 対数の和は log の差に分解して消す
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要点
Σ log a(k) = log(a(1)a(2)…a(n)) なので、対数の和は『積の計算』と同じ。真数が (k+1)/k のような比なら、積は分母分子が隣同士で約分されて端だけ残る。log の差に分ける方法と、積にして約分する方法は同じことを言っている。
こんなときに使う
- Σ log((k+1)/k)、Σ log(1 + 1/k) のように真数が隣同士の比
- Σ log(1 − 1/k²) → (k−1)(k+1)/k² に因数分解すると比の積になる
- 積 Π(1 − 1/k²) を求めよ → log を取らずにそのまま約分してもよい
手順
- 1. 真数を比の形 (k+1)/k、(k−1)/k などに因数分解する
- 2. log(k+1) − log k のように差に分ける（または積のまま書き並べる）
- 3. 書き並べて消える組を確認し、端に残る項だけ集める
- 4. 1つの log にまとめて答える
例題
Σ[k=2〜n] log(1 − 1/k²) を求めよ（n≧2）。
解答
- 1 − 1/k² = (k−1)(k+1)/k² = {(k−1)/k}·{(k+1)/k}
- Σ[k=2〜n] log((k−1)/k) = log(1/2 · 2/3 · … · (n−1)/n) = log(1/n)
- Σ[k=2〜n] log((k+1)/k) = log(3/2 · 4/3 · … · (n+1)/n) = log((n+1)/2)
- 合わせて log((n+1)/(2n))
- 検算：n=2 で log(3/4)。1 − 1/4 = 3/4 ○
別解・ほかの見方
- n→∞ で log(1/2) に収束する（数III）
- 積 Π[k=2〜n] (1 − 1/k²) = (n+1)/(2n) の形でも同じ。log なしの積で出題されることも多い
落とし穴
- log(1 − 1/k²) を log 1 − log(1/k²) と分解する（log の差は真数の商にしか分けられない）
- 下端が k=2 なのに端の項を k=1 から数える
- log((k+1)/k) の分解の向き／1 − 1/k² を因数分解せずに止まる
なぜ大事か
log の和は真数の積。積が望遠鏡的に約分できる形を見抜く
東大での出方
単独での出題は少ない。積の極限や確率の積（n回連続で〜しない確率）を約分する場面で使う。
確認問題
- Σ[k=1〜n] log₂((k+1)/k) を求めよ（答：log₂(n+1)）
- Π[k=1〜n] (1 + 1/k) を求めよ（答：n+1）
発展
Σ log(1 + 1/k) = log(n+1) → ∞ から、Σ 1/k が発散することも示せる（log(1+x) < x を使う）。
前提になるノード
「数列」のノード
- ①② 等差数列・等比数列
- ③ 階差数列 a(n+1)−a(n)=f(n)
- ④ 和S(n)から一般項を逆算
- ⑤ Σの基本公式（k, k², k³, 等比）
- ⑥ (等差)×(等比)の和：S−rS
- ⑦ 部分分数分解で隣同士を消す
- ⑧ ルートの和は有理化して差の形
- ⑨ 対数の和は log の差に分解して消す
- ㉓ 群数列（項数と末項の通算番号）
- Σ計算・部分分数分解による差の形（望遠鏡和）
- 階差数列・Sとaの関係
- 数学的帰納法（通常・強化・二段仮定）
- 格子点の数え上げ
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。