階差数列・Sとaの関係
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要点
a_n=S_n−S_(n−1)がn≧2でしか使えないのは、n=1のときにS_(n−1)=S₀という『0項までの和』が標準的に定義されないから。だからn=1の場合は別に確認する必要がある。階差数列b_k=a_(k+1)−a_kを足すと中間が消えて全体の差になる、という発想はΣ計算の望遠鏡和と同じ構造を持つ。
こんなときに使う
- S_nの式からa_nを求める問題は必ずn=1を別に確認する
- 階差数列が等差・等比になっているかを確認する
手順
- 1. n≧2でa_n=S_n−S_(n−1)を使う
- 2. n=1はa_1=S_1で別途確認する
- 3. 両者が一致すれば一般項として1つの式にまとめられる
例題
S_n=n²のときa_nを求めよ。
解答
- n≧2で a_n=n²−(n−1)²=2n−1
- n=1でa_1=S_1=1、これは2n−1にn=1を代入した値と一致
- ∴ a_n=2n−1（すべてのn）
落とし穴
- n=1の確認を省略する
- n=1 を別に確認しない
なぜ大事か
a_n = S_n - S_{n-1} は n≧2 でしか使えない、という条件処理の型
東大での出方
数列の基本操作。誘導のない漸化式の前提知識。
確認問題
- S_n=2ⁿ−1のときa_nを求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「数列」のノード
- ①② 等差数列・等比数列
- ③ 階差数列 a(n+1)−a(n)=f(n)
- ④ 和S(n)から一般項を逆算
- ⑤ Σの基本公式（k, k², k³, 等比）
- ⑥ (等差)×(等比)の和：S−rS
- ⑦ 部分分数分解で隣同士を消す
- ⑧ ルートの和は有理化して差の形
- ⑨ 対数の和は log の差に分解して消す
- ㉓ 群数列（項数と末項の通算番号）
- Σ計算・部分分数分解による差の形（望遠鏡和）
- 階差数列・Sとaの関係
- 数学的帰納法（通常・強化・二段仮定）
- 格子点の数え上げ
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。