㉓ 群数列（項数と末項の通算番号）
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要点
群数列の基準は『第k群の末項が、もとの数列で何番目か』。これを N(k) = （第1群〜第k群の項数の和）で出せば、第k群の初項は N(k−1) + 1 番目。ある項が第何群かは N(k−1) < 番号 ≦ N(k) を満たす k を探すだけ。あとは元の数列の一般項に番号を入れる。
こんなときに使う
- 『1 | 2, 3 | 4, 5, 6 | …』のように区切りが入った数列
- 分母ごとに分数が並ぶ数列（1/1, 1/2, 2/2, 1/3, 2/3, 3/3, …）
- 三角形状・ピラミッド状に数を並べた表
手順
- 1. 第k群の項数を k の式で表す
- 2. 第1群〜第k群の項数の和 N(k) を求める（第k群の末項の通算番号）
- 3. 第k群の初項は N(k−1) + 1 番目。元の数列の一般項に入れて値を出す
- 4. 『○番目は第何群か』は N(k−1) < ○ ≦ N(k) を満たす k を、近い値の代入で探す
- 5. 第k群の和は、群の中の数列（等差・等比）の和として計算する
例題
自然数を 1 | 2, 3 | 4, 5, 6 | 7, 8, 9, 10 | … と、第k群が k 個になるように区切る。(1) 100 は第何群の何番目か。(2) 第k群の和を求めよ。
解答
- 第k群の末項の通算番号は N(k) = k(k+1)/2
- (1) N(13) = 91、N(14) = 105 なので 91 < 100 ≦ 105。100 は第14群で、100 − 91 = 9 番目
- (2) 第k群の初項は N(k−1) + 1 = k(k−1)/2 + 1、項数 k、公差 1 の等差数列
- 和 = k/2 · {2(k(k−1)/2 + 1) + (k − 1)} = k(k² + 1)/2
- 検算：k = 3 で 4 + 5 + 6 = 15、3·10/2 = 15 ○
別解・ほかの見方
- 分数の群：分母 k の群に 1/k, 2/k, …, k/k。○番目の分数を答えさせる
- 群ごとの項数が 2ᵏ⁻¹（等比）の場合も、N(k) = 2ᵏ − 1 で同じ手順
- 第k群までの総和は Σ（第j群の和）を j = 1〜k で計算する
落とし穴
- N(k) を第k群の初項の番号と勘違いする
- N(k−1) < m ≦ N(k) の等号の位置を間違えて、群の末項が次の群に入ってしまう
- 群の中の数列の項数を間違える
- 第k群の初項の番号を末項の番号と取り違える／不等式で群を決めるときの等号
なぜ大事か
数列を区切って群にする問題。第k群の末項が全体で何番目かを最初に求めれば全部決まる
東大での出方
東大二次ではほぼ出ない。共通テストや他大学で定番。㉓の考え方（通算番号）は数え上げで使う。
確認問題
- 1/1, 1/2, 2/2, 1/3, 2/3, 3/3, … の第50項を求めよ（答：5/10 = 1/2）
- 1 | 2, 4 | 8, 16, 32, 64 | … のように第k群が 2ᵏ⁻¹ 個の2の累乗の群で、2²⁰ は第何群か（答：第5群）
発展
N(k) ≦ m を k について解く（k ≒ √(2m)）と、代入の候補がすぐに絞れる。
前提になるノード
「数列」のノード
- ①② 等差数列・等比数列
- ③ 階差数列 a(n+1)−a(n)=f(n)
- ④ 和S(n)から一般項を逆算
- ⑤ Σの基本公式（k, k², k³, 等比）
- ⑥ (等差)×(等比)の和：S−rS
- ⑦ 部分分数分解で隣同士を消す
- ⑧ ルートの和は有理化して差の形
- ⑨ 対数の和は log の差に分解して消す
- ㉓ 群数列（項数と末項の通算番号）
- Σ計算・部分分数分解による差の形（望遠鏡和）
- 階差数列・Sとaの関係
- 数学的帰納法（通常・強化・二段仮定）
- 格子点の数え上げ
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。