①② 等差数列・等比数列
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要点
等差数列の和S=n(a+l)/2は、数列を順と逆に並べて足すと各列の和がa+lで一定になる（ガウスの逸話）ことから導ける。等比数列の和S=a(1−rⁿ)/(1−r)は、SにrをかけたrSを元のSから引くと中間項がすべて打ち消し合うことから得られる。この『ずらして引く』技法は他の場面でも使われる基本操作。
こんなときに使う
- 初項・公差（公比）・項数が分かれば一般項・和の公式に代入する
- r=1のときは等比数列の和の公式が使えない（別扱い）
手順
- 1. 等差数列：a_n=a+(n−1)d、S_n=n(a+l)/2
- 2. 等比数列：a_n=ar^(n−1)、S_n=a(1−rⁿ)/(1−r)（r≠1）
例題
初項2、公比3の等比数列の第5項を求めよ。
解答
- 2・3⁴=2・81=162
落とし穴
- r=1のときに等比数列の和の公式をそのまま使って分母0になる
なぜ大事か
語彙
東大での出方
数列の基本語彙。漸化式・Σ計算のすべての前提。
確認問題
- 初項5、公差3の等差数列の第10項までの和を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「数列」のノード
- ①② 等差数列・等比数列
- ③ 階差数列 a(n+1)−a(n)=f(n)
- ④ 和S(n)から一般項を逆算
- ⑤ Σの基本公式（k, k², k³, 等比）
- ⑥ (等差)×(等比)の和：S−rS
- ⑦ 部分分数分解で隣同士を消す
- ⑧ ルートの和は有理化して差の形
- ⑨ 対数の和は log の差に分解して消す
- ㉓ 群数列（項数と末項の通算番号）
- Σ計算・部分分数分解による差の形（望遠鏡和）
- 階差数列・Sとaの関係
- 数学的帰納法（通常・強化・二段仮定）
- 格子点の数え上げ
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。