⑩ 特性方程式型 a(n+1)=p·a(n)+q
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要点
a(n+1) = p·a(n) + q は、全項から定数 α を引いて b(n) = a(n) − α とすれば b(n+1) = p·b(n) の等比数列になる。α は『ずっとその値なら変化しない値（不動点）』で、α = pα + q を解けば出る。特性方程式は『どの定数を引けば等比になるか』を探す計算であって、答えそのものではない。
こんなときに使う
- a(n+1) = p·a(n) + q（p ≠ 1、q ≠ 0）の形
- 確率漸化式で p(n+1) = (1/2)(1 − p(n)) のような1本の式になった
- ⑪⑬⑭などを変形した結果、この形になった
手順
- 1. α = pα + q を解く（α = q/(1−p)）
- 2. 元の式から α = pα + q を辺々引く：a(n+1) − α = p{a(n) − α}
- 3. {a(n) − α} は初項 a(1) − α、公比 p の等比数列
- 4. a(n) = α + (a(1) − α)pⁿ⁻¹
- 5. n=2 で検算する
例題
a(1) = 1、a(n+1) = 3a(n) + 2 の一般項を求めよ。
解答
- α = 3α + 2 より α = −1
- a(n+1) + 1 = 3{a(n) + 1}
- {a(n) + 1} は初項 2、公比 3 の等比数列なので a(n) + 1 = 2·3ⁿ⁻¹
- ∴ a(n) = 2·3ⁿ⁻¹ − 1
- 検算：a(2) = 3 + 2 = 5、2·3 − 1 = 5 ○
別解・ほかの見方
- 階差を取る：a(n+2) − a(n+1) = p{a(n+1) − a(n)} で階差が等比、③で戻す（遠回りだが特性方程式を忘れても解ける）
- |p| < 1 なら a(n) → α に収束（数III）。不動点が極限になる
- p = 1 なら等差数列（特性方程式は解なし）
落とし穴
- α を求めた時点で a(n) = α と答える
- 初項を a(1) − α ではなく a(1) にする
- 指数を pⁿ と pⁿ⁻¹ で取り違える（a(0) から始まる問題に注意）
- α を一般項と取り違える／a(1) − α の初項を間違える
なぜ大事か
漸化式の最重要パターン。⑪⑫⑬⑭⑰と確率漸化式は最後にほぼ全部これに帰着する
東大での出方
確率漸化式の大部分がこの形に落ちる。東大では解けて当然で、ここで落とすと致命傷。
確認問題
- a(1) = 2、a(n+1) = (1/2)a(n) + 3 の一般項と極限を求めよ（答：a(n) = 6 − 4(1/2)ⁿ⁻¹、極限6）
- a(1) = 0、a(n+1) = −2a(n) + 3 の一般項を求めよ（答：1 − (−2)ⁿ⁻¹）
発展
α は『関数 y = px + q と y = x の交点』。グラフで a(n) が α に近づく・離れる様子を描く（くもの巣図）と、p の符号と大きさで振る舞いが分かる。
前提になるノード
このノードを前提にするノード
- ⑪ 指数型 a(n+1)=p·a(n)+rⁿ（rⁿ⁺¹で割る）
- ⑫ nの多項式型 a(n+1)=p·a(n)+(An+B)
- ⑬ 分数型（逆数をとる） a(n+1)=a(n)/(p·a(n)+q)
- ⑭ 積・累乗型（対数をとる） a(n+1)=q·a(n)^p
- ⑮ 隣接3項間 a(n+2)+p·a(n+1)+q·a(n)=0
- ⑰ 和S(n)と一般項の混在型
- ⑲ 三角関数置換型 a(n+1)=2a(n)²−1
- ㉑ 周期・余り（mod）を書き出して見つける
- 漸化式の型別処理（等比型・特性方程式・分数型・連立）
「漸化式」のノード
- ⑩ 特性方程式型 a(n+1)=p·a(n)+q
- ⑪ 指数型 a(n+1)=p·a(n)+rⁿ（rⁿ⁺¹で割る）
- ⑫ nの多項式型 a(n+1)=p·a(n)+(An+B)
- ⑬ 分数型（逆数をとる） a(n+1)=a(n)/(p·a(n)+q)
- ⑭ 積・累乗型（対数をとる） a(n+1)=q·a(n)^p
- ⑮ 隣接3項間 a(n+2)+p·a(n+1)+q·a(n)=0
- ⑯ 連立漸化式（和と差・消去）
- ⑰ 和S(n)と一般項の混在型
- ⑱ 一次分数変換型 a(n+1)=(p·a(n)+q)/(r·a(n)+s)
- ⑲ 三角関数置換型 a(n+1)=2a(n)²−1
- ⑳ 偶奇分け（(−1)ⁿ型・2つ飛び）
- ㉑ 周期・余り（mod）を書き出して見つける
- 漸化式の型別処理（等比型・特性方程式・分数型・連立）
- ㉔ 推測＋数学的帰納法（誘導のない漸化式）
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。