㉔ 推測＋数学的帰納法（誘導のない漸化式）
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要点
型に当てはまらない漸化式に出会ったら、n=1,2,3,4を実際に計算して数列を並べ、規則を予想するのが正規の第一手。実験は証明ではないので、予想が立ったら必ず数学的帰納法（または適切な変形）で証明する。この『実験→予想→証明』という流れは、東大が誘導なしで出す漸化式問題の標準的な攻略法。
こんなときに使う
- 漸化式が既知の型（等比・階差・分数など）に当てはまらないときは、まず小さいnで実験する
手順
- 1. n=1,2,3,4の値を実際に計算する
- 2. 一般項の規則を予想する
- 3. 数学的帰納法で証明する（または適切な置換を見つける）
例題
a₁=1、a_(n+1)=a_n/(1+a_n)の一般項を求めよ。
解答
- a₂=1/2、a₃=1/3、a₄=1/4 と計算できる。
- 予想：a_n=1/n
- 証明：b_n=1/a_nとおくとb_(n+1)=1/a_n+1=b_n+1、b₁=1で公差1の等差数列。b_n=n、よってa_n=1/n
落とし穴
- 実験だけで満足し、証明（帰納法や逆数変換）を書かない
- 実験をせずに一般項を探そうとする
なぜ大事か
東大は型で解けない漸化式を出す。n=1,2,3 を書き出す手の動きが答え
東大での出方
東大は型で解けない漸化式を出す。実験して規則を見つける発想の中心。
確認問題
- a₁=1、a_(n+1)=2a_n/(a_n+2)の一般項を実験して予想し証明せよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「漸化式」のノード
- ⑩ 特性方程式型 a(n+1)=p·a(n)+q
- ⑪ 指数型 a(n+1)=p·a(n)+rⁿ（rⁿ⁺¹で割る）
- ⑫ nの多項式型 a(n+1)=p·a(n)+(An+B)
- ⑬ 分数型（逆数をとる） a(n+1)=a(n)/(p·a(n)+q)
- ⑭ 積・累乗型（対数をとる） a(n+1)=q·a(n)^p
- ⑮ 隣接3項間 a(n+2)+p·a(n+1)+q·a(n)=0
- ⑯ 連立漸化式（和と差・消去）
- ⑰ 和S(n)と一般項の混在型
- ⑱ 一次分数変換型 a(n+1)=(p·a(n)+q)/(r·a(n)+s)
- ⑲ 三角関数置換型 a(n+1)=2a(n)²−1
- ⑳ 偶奇分け（(−1)ⁿ型・2つ飛び）
- ㉑ 周期・余り（mod）を書き出して見つける
- 漸化式の型別処理（等比型・特性方程式・分数型・連立）
- ㉔ 推測＋数学的帰納法（誘導のない漸化式）
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。