無限級数・無限等比級数
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要点
無限級数は『無限個を足す』のではなく、部分和S_nのn→∞極限として定義される。この原則があるから、無限等比級数の和がa/(1−r)（|r|<1）になることを、部分和S_n=a(1−rⁿ)/(1−r)でrⁿ→0とすることで直接示せる。項別に処理する前に、必ず部分和を経由する意識が重要。
こんなときに使う
- 無限級数の和を求める問題は、まず部分和の式を立ててから極限を取る
手順
- 1. 部分和S_nの式を求める
- 2. n→∞の極限を計算する
例題
1+1/3+1/9+…の和を求めよ。
解答
- 初項1、公比1/3。a/(1−r)=1/(2/3)=3/2
落とし穴
- 部分和を経由せず項別に処理して誤った結論を出す
- 部分和を経ずに項別に処理する
なぜ大事か
部分和の極限として定義に戻れること
東大での出方
数IIIの無限級数の基礎。積分と組み合わせた評価問題の前提。
確認問題
- 2−1+1/2−1/4+…の和を求めよ
前提になるノード
「極限」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。