e の定義と (1+1/n)^n 型の極限
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要点
eはlim(1+1/n)ⁿの値として定義される数。この定義から出発すると、lim[x→0](eˣ−1)/x=1という重要な極限が、eˣ−1=tと置換してx=log(1+t)と書き直すことで導かれる。この極限が指数関数の微分(eˣ)′=eˣの根拠になっている。つまりeの定義そのものが微分公式を支えている。
こんなときに使う
- (1+1/n)ⁿ型の極限、または(eˣ−1)/x型の極限はeの定義に帰着させる
手順
- 1. 式をeの定義または関連する極限の形に変形する
- 2. 既知の結果（lim(1+1/n)ⁿ=eなど）を適用する
例題
lim[x→0](e²ˣ−1)/xを求めよ。
解答
- 2・(e²ˣ−1)/(2x)と変形。括弧の中は1に収束するので極限は2
落とし穴
- eの定義を単なる数値（2.718…）としか理解せず、極限の構造を見失う
なぜ大事か
対数微分・指数関数の微分の根拠
東大での出方
対数微分・指数関数の微分の根拠。
確認問題
- lim[x→0]log(1+x)/xを求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「極限」のノード
- 数列の極限・収束発散の判定
- はさみうちの原理
- 無限級数・無限等比級数
- 関数の極限・不定形の処理
- sinx/x → 1 とその証明
- e の定義と (1+1/n)^n 型の極限
- 連続性・中間値の定理
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。