整式の除法・剰余定理・因数定理
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要点
剰余定理f(a)=r（f(x)をx−aで割った余り）は、割り算の定義式f(x)=(x−a)Q(x)+rにx=aを代入すれば(a−a)Q(a)=0となって消えるため、直ちに導かれる。因数定理はf(a)=0のとき余りが0、つまりx−aで割り切れるという剰余定理の特別な場合。余りの次数を割る式より低く設定するのは、割り算の定義そのものの制約。
こんなときに使う
- 『割った余り』を求める問題は剰余定理でf(a)を計算するだけで済む場合がある
- 高次方程式を解くには因数定理で1つの解を見つけ次数を下げる
手順
- 1. 剰余定理：f(x)をx−aで割った余りはf(a)
- 2. 因数定理：f(a)=0ならx−aが因数
- 3. 2次式で割った余りは1次以下（ax+b）と置く
例題
f(x)=x³−2x+1をx−2で割った余りを求めよ。
解答
- 剰余定理よりf(2)=8−4+1=5
別解・ほかの見方
- 実際に筆算で割り算する方法もあるが、余りだけが必要なら剰余定理が速い
落とし穴
- 2次式で割った余りを定数と誤って置く（正しくは1次以下）
- 余りの次数の設定を忘れる
なぜ大事か
「割った余り」型の問題（東大好み）と、整式の恒等式処理の土台
東大での出方
『割った余り』型の問題（東大好み）、整式の恒等式処理の土台。
確認問題
- f(x)=x³+3x−1をx+1で割った余りを求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「複素数と方程式」のノード
- 整式の除法・剰余定理・因数定理
- 複素数の計算・解と係数の関係
- 高次方程式・虚数解の扱い
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。