高次方程式・虚数解の扱い
アプリで開く →
進み具合を記録できるアプリ版です（ノード単位の直リンクはありません）
要点
高次方程式は一般に解の公式を持たないため、因数定理で1つの解を見つけて次数を下げる、という操作を繰り返すのが標準的な方針。有理数解の候補は（定数項の約数）/（最高次係数の約数）に限られる（有理根定理）ため、試す候補が有限個で済む。実数係数なら虚数解は必ず共役の組で現れる、という性質も解を求める際の検算に使える。
こんなときに使う
- 3次以上の方程式を解く問題は、まず因数定理で1つの解を探す
- 有理数解の候補を絞るには定数項と最高次係数の約数を確認する
手順
- 1. 有理数解の候補を絞り、代入して0になるものを探す
- 2. 見つかった解に対応する1次式で割り、次数を下げる
- 3. 残った2次式を解の公式で解く
例題
x³−1=0の解をすべて求めよ。
解答
- (x−1)(x²+x+1)=0
- x=1、または x²+x+1=0を解いてx=(−1±√3i)/2
落とし穴
- 因数分解した後の2次式を解き忘れて実数解だけを答える
なぜ大事か
実数係数なら共役も解、という論法
東大での出方
複素数平面のn乗根の議論、方程式の解の個数問題の基礎。
確認問題
- x³+1=0の解をすべて求めよ
前提になるノード
「複素数と方程式」のノード
- 整式の除法・剰余定理・因数定理
- 複素数の計算・解と係数の関係
- 高次方程式・虚数解の扱い
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。