対称式・交代式
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要点
対称式は基本対称式（和sと積t）だけで必ず表せる、という事実が整数問題・解と係数の関係・複素数平面のすべての土台になる。s,tで表す変形（a²+b²=s²−2t、a³+b³=s³−3st）は導出を一度自分の手でたどっておけば忘れない。交代式（符号を入れ替えると符号が変わる式）は(a−b)を因数に持つ、という性質も合わせて押さえておくと、因数分解の見通しが立つ。
こんなときに使う
- a+b、abの値だけが与えられて他の対称式の値を聞かれたら、s,tに還元する
- 解と係数の関係が出てきたら対称式の変形とセットで使う
- (a−b)²=(a+b)²−4ab の変形は、差を扱う問題全般で使える
手順
- 1. s=a+b, t=ab とおく
- 2. 求めたい対称式をs,tの式に変形する（a²+b²=s²−2t、a³+b³=s³−3st）
- 3. 与えられた条件からs,tの値を代入する
例題
a+b=4, ab=3 のとき a³+b³ の値を求めよ。
解答
- s=4, t=3 として a³+b³=s³−3st=64−3·4·3=64−36=28。
- 検算：a,bはx²−4x+3=0の解でa=1,b=3（またはその逆）。1³+3³=1+27=28 で一致。
別解・ほかの見方
- 解を実際に求めて代入する方法もあるが、s,tへの還元のほうが速く、解が汚い場合に有利
- 4次以上の対称式も同じ還元を繰り返し適用できる
落とし穴
- a³+b³の変形で符号を落とす（+3stではなく−3st）
- 対称式でない式（a²−b²など）に同じ変形を誤って適用する
- 基本対称式に還元する発想が出ない
なぜ大事か
解と係数の関係、整数問題、複素数平面すべての土台
東大での出方
単独出題は少ないが、整数問題で2数の和と積から候補を絞る場面、複素数の実部虚部の対称的な扱いで頻出。
確認問題
- a+b=5, ab=6のときa²+b²を求めよ
- a−b=2, ab=3のとき(a−b)³とa³−b³の関係を使ってa³−b³を求めよ
発展
3文字の対称式（a+b+c, ab+bc+ca, abcの3つの基本対称式）への拡張。3次方程式の解と係数の関係に直結する。
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