積の形に持ち込む（因数分解型の不定方程式）
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要点
整数の積が定数になれば、候補は約数の有限個の組に絞られる、という発想が、無限にある候補を有限にする最も直接的な手段。xy+ax+by=cのような式は、両辺にabを足すと(x+b)(y+a)=c+abという因数分解の形に変形できる。このabを足すという操作は、(x+b)(y+a)を展開したときに元の式とのズレを補正するために逆算して決まる。
こんなときに使う
- xとyの積の形を含む方程式、または積に変形できそうな式は因数分解を試みる
- 無限にある整数解の候補を絞りたいときは、積の形を作れないか考える
手順
- 1. 目標の因数分解の形を想定し、展開して元の式と比較する
- 2. 両辺に定数を加えて因数分解できる形に変形する
- 3. 積が定数になる約数の組をすべて調べる
例題
xy−x−y=1を満たす自然数の組をすべて求めよ。
解答
- 両辺に1を足すと xy−x−y+1=2 すなわち (x−1)(y−1)=2
- (x−1,y−1)=(1,2)または(2,1)
- ∴ (x,y)=(2,3)または(3,2)
別解・ほかの見方
- 合同式や評価と組み合わせて使うこともある（3手段は排他的ではない）
落とし穴
- 因数分解のために足す定数を求め間違える
- 自然数条件（x−1>0など）を見落として解を数え落とす
なぜ大事か
整数解を有限個に閉じ込める最有力手段
東大での出方
整数解を有限個に閉じ込める最有力手段。単独でも、他の手段（合同式・評価）と組み合わせても頻出。
確認問題
- xy+2x+3y=1を満たす整数解をすべて求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「整数」のノード
- 約数・倍数・素因数分解
- ユークリッドの互除法・最大公約数
- 1次不定方程式
- 合同式（mod）
- 積の形に持ち込む（因数分解型の不定方程式）
- 範囲で絞る（不等式評価で有限化）
- n進法
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。