約数・倍数・素因数分解
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要点
整数問題の語彙となる単元。素因数分解でN=p^a・q^bと表せれば、約数の個数は(a+1)(b+1)個になる。この理由は、約数がp^i・q^j（0≦i≦a, 0≦j≦b）の形に限られ、iの選び方がa+1通り、jがb+1通りだから積の法則で決まる、という数え上げの原理に還元される。素数の性質（pがabを割るならpはaかbを割る）は合成数では成り立たない、という点も整数の論証で頻繁に問われる。
こんなときに使う
- 約数の個数・総和を求める問題は素因数分解から始める
- 『pがabを割り切る』という性質を使うときは、pが素数であることを確認する
手順
- 1. 与えられた数を素因数分解する
- 2. 約数の個数は各指数+1の積、総和は等比数列の和の積で求める
- 3. 素数の性質を使う証明では、素数であることの根拠を明記する
例題
72の正の約数の個数を求めよ。
解答
- 72=2³・3² と素因数分解できる。
- 約数の個数は(3+1)(2+1)=12個。
別解・ほかの見方
- 約数の総和は(1+2+4+8)(1+3+9)=15・13=195のように、各素因数の等比数列の和の積で求める
落とし穴
- 6が36を割り切るからといって6が合成数であることを無視して素数の性質を適用してしまう
- 約数の個数の公式で+1を忘れる
なぜ大事か
整数問題の語彙
東大での出方
整数問題の基礎語彙として、合同式・因数分解型の不定方程式の前提知識になる。
確認問題
- 120の正の約数の個数を求めよ
- 6が36を割り切るのに6が4も9も割り切らない例で、素数の性質が合成数で成り立たないことを確認せよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「整数」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。