1次不等式・連立不等式
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要点
1次不等式は単独では易しいが、負の数を掛けると不等号の向きが変わるという唯一の注意点を、機械的な作業の中でうっかり見落とすことが最大のリスクになる。連立不等式は、各不等式の解を数直線上に描いて共通部分を取る、という手順を徹底することで、複雑な条件でも間違えなくなる。
こんなときに使う
- 不等式の両辺に負の数を掛ける・両辺を負の数で割る場面では、必ず不等号の向きを確認する
- 連立不等式は個別に解いてから数直線で共通部分を取る
手順
- 1. 移項してxの係数を1つにまとめる
- 2. 負の数で割る/掛けるときは不等号を反転させる
- 3. 連立の場合は各不等式を解き、数直線に図示して共通範囲を求める
例題
3x−2>x+4 と 2x+1≦7 を同時に満たすxの範囲を求めよ。
解答
- 3x−2>x+4 → 2x>6 → x>3
- 2x+1≦7 → 2x≦6 → x≦3
- 共通範囲は x>3 かつ x≦3 で、これを満たすxは存在しない（矛盾）。
- 検算：数直線でx>3の範囲とx≦3の範囲は境界x=3で接するのみ共有点がない。
落とし穴
- 負の数で割ったのに不等号の向きを変え忘れる
- 連立の解を『どちらか一方』（和集合）と勘違いする
なぜ大事か
領域・場合分けの前提
東大での出方
単独出題はないが、定義域や場合分けの前提条件として常に正確さが要求される。
確認問題
- 4x−3<2x+5 を解け
- x+2>0 かつ 3−x≧0 を満たすxの範囲を求めよ
前提になるノード
「数と式」のノード
- 展開・因数分解の型
- 対称式・交代式
- 実数・絶対値・平方根の扱い
- 1次不等式・連立不等式
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。