多項式の定積分・面積
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要点
定積分の値F(b)−F(a)が面積を表すのは偶然ではなく、区分求積（区間を細かく分けて長方形の面積を足し合わせる操作）の極限として定積分が定義されているから。面積を『上−下』の積分で求めるのは、各xでの長方形の高さがその差になるという直接的な理由による。
こんなときに使う
- 2曲線に挟まれた面積は交点を求め、上下の関係を確認してから積分する
- 定積分の値が負になっても計算ミスとは限らない（符号付き面積）
手順
- 1. 交点を求めて積分区間を決める
- 2. 区間内でどちらの関数が上かを確認する
- 3. (上−下)を積分する
例題
∫[0→2](x²−x)dxの値を求めよ。
解答
- [x³/3−x²/2]=8/3−2=2/3
落とし穴
- 上下が入れ替わる点を見落として1つの式で押し通す
- 符号付き面積と面積の混同
なぜ大事か
面積を積分で表す原則（上−下）
東大での出方
面積計算の基本操作。1/6公式・絶対値付き積分の前提。
確認問題
- y=x²とy=2xで囲まれた部分の面積を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「微分積分」のノード
- 微分係数の定義・導関数
- 接線・法線
- 増減表・極値（3次関数）
- 3次方程式の実数解の個数（定数分離）
- 多項式の定積分・面積
- 1/6公式・1/12公式と面積の等分
- 絶対値付き積分・区間の分割
- 定積分で表された関数・パラメータ入り積分の最小化
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。