接線・法線
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要点
接線は、点(a,f(a))を通り傾きf′(a)の直線として求まる。曲線外の点から引く接線では、通る点ではなく接点を(t,f(t))と文字で置くのが定石。通る点の座標をそのまま微分してしまうのは、接線の傾きが『接点での』微分係数であることを見失った誤り。
こんなときに使う
- 曲線上の点における接線は素直にf′(a)を使う
- 曲線外の点から引く接線は接点を文字で置く
手順
- 1. 接点を(a,f(a))または(t,f(t))と置く
- 2. 接線の方程式y=f′(接点のx座標)(x−接点のx座標)+f(接点のy座標)を立てる
- 3. 通る点の条件があれば代入してtを求める
例題
y=x²上の点(1,1)における接線を求めよ。
解答
- y′=2xよりx=1で傾き2。
- y−1=2(x−1) → y=2x−1
別解・ほかの見方
- 曲線外の点からの接線は、接点をtと置いて連立方程式を解く
落とし穴
- 曲線外の点の座標をそのまま微分して傾きとしてしまう
- 接点の座標を置かず、通る点の座標で微分する
なぜ大事か
「接点をtと置く」型。共通接線・曲線外の点からの接線本数へ
東大での出方
接点をtと置く型は、共通接線・曲線外の点からの接線本数へ発展する。
確認問題
- 点(0,−1)からy=x²に引いた接線をすべて求めよ
前提になるノード
「微分積分」のノード
- 微分係数の定義・導関数
- 接線・法線
- 増減表・極値（3次関数）
- 3次方程式の実数解の個数（定数分離）
- 多項式の定積分・面積
- 1/6公式・1/12公式と面積の等分
- 絶対値付き積分・区間の分割
- 定積分で表された関数・パラメータ入り積分の最小化
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。