1/6公式・1/12公式と面積の等分
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要点
1/6公式∫[α→β](x−α)(x−β)dx=−(β−α)³/6は、x−α=tと置換して実際に積分を計算すれば導ける。特別な定理ではなく、この積分を一度計算しておいた結果を公式化しただけ。放物線と直線で囲まれた面積がa(x−α)(x−β)の形になることから、|a|(β−α)³/6という面積公式が導かれる。
こんなときに使う
- 放物線と直線（または2つの放物線）で囲まれた面積は1/6公式を検討する
- 接する2つの放物線の面積は1/12公式（4次のケース）も参考になる
手順
- 1. 交点を求めてα,βとする
- 2. 面積を|係数|(β−α)³/6で計算する
例題
y=x²とy=xで囲まれた面積を求めよ。
解答
- 交点は0と1。1/6公式より面積=(1−0)³/6=1/6
別解・ほかの見方
- 直接積分して計算する方法と、両方で検算するのが確実
落とし穴
- 公式が使える形（2次の係数がちょうど1つの因数の積になっている）か確認せずに適用する
- 適用条件を外れて使う
なぜ大事か
計算時間の短縮。検算にも使える
東大での出方
計算時間の短縮。検算にも使える。
確認問題
- y=x²−1とy=−x+1で囲まれた面積を求めよ
前提になるノード
「微分積分」のノード
- 微分係数の定義・導関数
- 接線・法線
- 増減表・極値（3次関数）
- 3次方程式の実数解の個数（定数分離）
- 多項式の定積分・面積
- 1/6公式・1/12公式と面積の等分
- 絶対値付き積分・区間の分割
- 定積分で表された関数・パラメータ入り積分の最小化
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。