相加相乗平均
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要点
相加相乗平均(a+b)/2≧√(ab)は、差を取ると(√a−√b)²/2という平方の形になり常に0以上である、という事実から証明される。等号成立条件（√a=√b、つまりa=b）を書かないと、不等式が下界を示しているだけで実際にその値に到達できるかが不明なため『最小値』とは言えない。この確認の有無が最大の失点ポイント。
こんなときに使う
- 和が一定でない積の最小値、または積が一定な和の最小値を求める問題で使う
- x+k/xの形（x>0）を見たら相加相乗を疑う
手順
- 1. a,bが正であることを確認する
- 2. (a+b)/2≧√(ab)を適用する
- 3. 等号成立条件（a=b）を確認し、実際にその値を取れるか検証する
例題
x>0のときx+4/xの最小値を求めよ。
解答
- 相加相乗より x+4/x≧2√(x・4/x)=2√4=4
- 等号はx=4/x、すなわちx²=4、x>0よりx=2のとき成立。
- ∴ 最小値4
別解・ほかの見方
- 3項以上の相加相乗平均もある（3変数の場合）
落とし穴
- 等号成立条件を書かない（最頻出の減点）
- 正でない量に相加相乗を適用する
- 等号成立条件を書かない／正でない量に使う
なぜ大事か
最小値の即答手段
東大での出方
最小値の即答手段。証明問題の一部としても頻出。
確認問題
- x>0のとき4x+9/xの最小値を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「式と証明」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。