二項定理・多項定理
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要点
二項定理の一般項C(n,k)a^(n−k)b^kの係数は、n個の(a+b)の積を展開したとき、各因数からaかbのどちらを選ぶかという場合の数から自然に決まる。bをちょうどk個選ぶ選び方がC(n,k)通りあるので、その項が同じ形でC(n,k)回現れることになる。展開そのものが選択の繰り返しである、という理解が公式を忘れないための鍵。
こんなときに使う
- (a+b)ⁿの特定の項の係数を求める問題は、まず一般項を書く
- 多項定理は3つ以上の項の展開に一般化したもの
手順
- 1. 一般項C(n,k)a^(n−k)b^kを書く
- 2. 求めたい次数になるkを決定する
- 3. 係数を計算する
例題
(x+2)⁵のx²の係数を求めよ。
解答
- 一般項はC(5,k)x^(5−k)2^k。x²になるのは5−k=2、k=3のとき。
- C(5,3)・2³=10・8=80
別解・ほかの見方
- 多項定理：(a+b+c)ⁿの一般項はn!/(p!q!r!)・a^p・b^q・c^r（p+q+r=n）
落とし穴
- 一般項を書かずに展開して目で探し、次数の高い項で数え違える
- 一般項を書かずに勘で係数を取る
なぜ大事か
係数比較・整数論証・確率の計算で反復して出る
東大での出方
単独出題は少ないが、確率の計算や不等式の証明の補助として使われる。
確認問題
- (2x−1)⁶の定数項を求めよ
前提になるノード
「式と証明」のノード
- 二項定理・多項定理
- 恒等式・係数比較
- 相加相乗平均
- 不等式の証明（差をとる・平方完成・コーシー）
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。