三角比の定義と拡張（0〜180°）
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要点
三角比を単位円上の座標(cosθ,sinθ)として定義し直すことで、直角三角形でしか意味を持たなかった鋭角の三角比が、鈍角や0°・180°にまで自然に拡張される。この拡張こそが、後の三角関数・ベクトルの内積・複素数平面のすべての土台になっており、単位円のイメージを持てるかどうかが以降の理解度を大きく左右する。
こんなときに使う
- 鈍角の三角比が出てきたら単位円上の座標として考える
- sin²θ+cos²θ=1、1+tan²θ=1/cos²θの関係は単位円の方程式から導けることを意識する
手順
- 1. 角θを単位円上の点(cosθ,sinθ)として捉える
- 2. sin,cos,tanの値をその座標や傾きから読み取る
- 3. 恒等式が必要な場合は単位円の方程式x²+y²=1に帰着させる
例題
sinθ=3/5（0°<θ<90°）のときcosθを求めよ。
解答
- sin²θ+cos²θ=1より cos²θ=1−9/25=16/25
- 0°<θ<90°でcosθ>0なので cosθ=4/5
落とし穴
- 鈍角でcosθが負になることを見落とす
- sin²θ+cos²θ=1を単なる公式として覚え、単位円の方程式であることを忘れる
- 単位円で定義し直せていない
なぜ大事か
三角関数・ベクトル内積・複素数平面のすべての根
東大での出方
三角関数、ベクトルの内積、複素数平面の回転など、ほぼすべての単元の出発点になる。
確認問題
- cosθ=−1/3（90°<θ<180°）のときsinθを求めよ
- θ=120°のときsinθ,cosθ,tanθの値を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「図形と計量」のノード
- 三角比の定義と拡張（0〜180°）
- 正弦定理・余弦定理
- 三角形の面積・内接円・外接円
- 空間図形への三角比の応用
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。