三角形の面積・内接円・外接円
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要点
三角形の面積を求める公式は複数あるが、どれも同じ量を別の情報から表現しただけであり、正弦定理・余弦定理と組み合わせることで自在に使い分けられる。S=rs（内接円の半径×周の半分）は、内心から3辺への垂線がすべて内接円の半径に等しいという性質から、三角形を3つの小三角形に分割して導かれる。この導出を知っていれば、内接円が絡む面積問題で式を自作できる。
こんなときに使う
- 2辺とその間の角が分かっている面積はS=(1/2)bc sinA
- 内接円の半径が絡む問題はS=rsを使う
- 外接円の半径が絡む問題はS=abc/4Rを使う
手順
- 1. 与えられている情報（辺・角・内接円/外接円の半径）を確認する
- 2. 対応する面積公式を選ぶ
- 3. 必要なら正弦定理・余弦定理と組み合わせて未知の辺や角を先に求める
例題
b=3,c=4,A=30°の三角形の面積を求めよ。
解答
- S=(1/2)bc sinA=(1/2)·3·4·sin30°=(1/2)·3·4·(1/2)=3
別解・ほかの見方
- S=rsから内接円の半径rを逆算する問題もある：r=S/s
落とし穴
- sinAを使うべきところでcosAを使ってしまう
- 外接円と内接円の公式を混同する
なぜ大事か
図形の最大最小問題の計算基盤
東大での出方
図形の最大最小問題の計算基盤。空間図形の切断面の面積計算にも直結する。
確認問題
- a=6,b=8,C=60°の三角形の面積を求めよ
- 3辺が3,4,5の直角三角形の内接円の半径を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「図形と計量」のノード
- 三角比の定義と拡張（0〜180°）
- 正弦定理・余弦定理
- 三角形の面積・内接円・外接円
- 空間図形への三角比の応用
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。