正弦定理・余弦定理
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要点
正弦定理と余弦定理は、三角形の辺と角の関係を式に落とす二大手段であり、どちらを使うかの判断が問題を解く速度を決める。正弦定理は外接円の半径と組み合わせて使う場面、余弦定理は3辺や2辺と間の角が分かっている場面で威力を発揮する。余弦定理はA=90°のとき三平方の定理に一致することから、その一般化と理解しておくと公式を忘れにくい。
こんなときに使う
- 外接円の半径が関係する問題は正弦定理
- 3辺、または2辺と間の角が分かっているときは余弦定理
- 1辺と2角が分かっているときは正弦定理で残りの辺を求める
手順
- 1. 与えられている情報（辺・角の組み合わせ）を確認する
- 2. 正弦定理 a/sinA=2R か余弦定理 a²=b²+c²−2bc cosA のどちらが使えるか判断する
- 3. 式を立てて計算する
例題
b=2,c=3,A=60°のときaを求めよ。
解答
- 余弦定理より a²=b²+c²−2bc cosA=4+9−2·2·3·(1/2)=13−6=7
- ∴ a=√7
別解・ほかの見方
- 面積を先に求めてヘロンの公式的なアプローチを取ることもできるが、直接余弦定理を使うほうが速い
落とし穴
- 余弦定理でcosAの符号（鈍角なら負）を忘れる
- 正弦定理のRを見落として外接円が絡む問題で詰まる
- 外接円半径Rを見落とす／余弦定理で角の候補を絞れない
なぜ大事か
図形量を式に落とす二大手段。使い分けの判断が本体
東大での出方
図形の計量問題、空間図形で切断面の三角形を扱う際の基本ツール。
確認問題
- a=5,b=7,c=8の三角形でcosAを求めよ
- A=45°,B=60°,a=4のときbを求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「図形と計量」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。