空間図形への三角比の応用
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要点
空間図形の問題は、そのまま3次元で考えようとすると手が止まる。適切な平面（多くは対称性のある断面）で切り、その平面上の三角形に正弦定理・余弦定理・三平方の定理を適用する、という『次元を1つ下げる』発想が唯一の実用的な突破口になる。座標を設定できない、または設定すると計算が煩雑になる空間図形の問題では、この方法が最後の逃げ道になる。
こんなときに使う
- 空間図形の長さ・角度を求める問題は、対称性のある平面で切ることをまず考える
- 正四面体・正四角錐などの高さは、頂点から底面の重心へ垂線を下ろした直角三角形で考える
手順
- 1. 求めたい量が現れるような平面（断面）を選ぶ
- 2. その平面上の図形を2次元の三角形として抜き出す
- 3. 正弦定理・余弦定理・三平方の定理を適用する
例題
1辺の長さaの正四面体の高さを求めよ。
解答
- 頂点から底面（1辺aの正三角形）の重心へ垂線を下ろす。
- 重心から頂点までの距離は、正三角形の外接円の半径 a/√3。
- 高さhは直角三角形で h²+（a/√3)²=a² より h²=a²−a²/3=2a²/3
- ∴ h=a√(2/3)=√6a/3
別解・ほかの見方
- 座標を設定して計算する方法もあるが、対称性の高い立体では平面で切るほうが速いことが多い
落とし穴
- 3次元のまま計算しようとして式が組み立てられなくなる
- 切る平面の選び方が悪く、計算が複雑になる
- 切断面を自分で選べない
なぜ大事か
東大の空間図形は結局「適切な平面で切って三角比」。座標に頼れない問題の逃げ道
東大での出方
空間図形の計量問題、後の空間ベクトル・体積計算の橋渡しとして重要。
確認問題
- 1辺の長さ2の正四面体の1つの面と、それに向かい合う頂点との距離（高さ）を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「図形と計量」のノード
- 三角比の定義と拡張（0〜180°）
- 正弦定理・余弦定理
- 三角形の面積・内接円・外接円
- 空間図形への三角比の応用
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。