気体分子運動論（圧力と分子の運動エネルギー）
着眼点1個の分子が壁に与える力積 → 単位時間の衝突回数 → 圧力、の3段で導く。結論は「分子の平均運動エネルギーは絶対温度に比例」。
1辺 L の立方体容器、質量 m の分子 N 個の場合、x 方向の壁1回の衝突で与える力積は 2mv_x、単位時間の衝突回数は \frac{v_x}{2L}。これと \overline{v_x^2}=\frac13\overline{v^2} から
pV=\frac13Nm\overline{v^2},\qquad \frac12m\overline{v^2}=\frac32kT,\qquad k=\frac{R}{N_A} \sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}\quad(M:\text{モル質量}\ [\mathrm{kg/mol}])例題
1
理想気体の絶対温度を 300 K から 1200 K にすると、分子の二乗平均速度 \sqrt{\overline{v^2}} は何倍になるか。
解答
\sqrt{\overline{v^2}}\propto\sqrt T なので \sqrt{1200/300}=\sqrt4=2
答 2 倍
答 2 倍
2
300 K のヘリウム（モル質量 4.0\times10^{-3}\ \mathrm{kg/mol}）の \sqrt{\overline{v^2}} を求めよ。R=8.3\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}。
解答
\sqrt{\dfrac{3\times8.3\times300}{4.0\times10^{-3}}}=\sqrt{1.8675\times10^6}=1.37\times10^3\ \mathrm{m/s}
答 1.4\times10^3\ \mathrm{m/s}
答 1.4\times10^3\ \mathrm{m/s}
注意モル質量を g/mol のまま入れると \sqrt{1000} 倍ずれる。\mathrm{kg/mol} に直す。
確認問題
1
同じ温度の水素分子と酸素分子で、平均運動エネルギーはどちらが大きいか。
答え
等しい（温度だけで決まる）。速さは軽い水素のほうが大きい