鉛直面内の円運動
着眼点速さが場所で変わるので「エネルギー保存で速さ → 中心向きの運動方程式で張力・垂直抗力」の2段構え。糸がたるむ・面から離れるのは張力・抗力が0になるとき。
最高点（糸の長さ L）: m\dfrac{v^2}L=T+mg。T\ge0 より、一周するには最高点で v^2\ge gL。
例題
1
長さ 0.50\ \mathrm{m} の糸の先のおもりに、最下点で水平に初速 v_0 を与える。糸がたるまずに一周するための v_0 の最小値を求めよ。g=10\ \mathrm{m/s^2} とする。
解答
最高点の速さ v: エネルギー保存 \frac12mv_0^2=\frac12mv^2+mg\times2L
最高点の運動方程式 m\dfrac{v^2}L=T+mg、T\ge0 より v^2\ge gL。
よって v_0^2=v^2+4gL\ge5gL=5\times10\times0.50=25
5.0\ \mathrm{m/s}
最高点の運動方程式 m\dfrac{v^2}L=T+mg、T\ge0 より v^2\ge gL。
よって v_0^2=v^2+4gL\ge5gL=5\times10\times0.50=25
5.0\ \mathrm{m/s}
2
半径 0.30\ \mathrm{m} のなめらかな半球面（凸面）の頂上から、小物体が静かに滑り出した。面から離れるのは、球の中心から高さいくらの点か。
解答
鉛直から \theta の位置で、速さはエネルギー保存より v^2=2gR(1-\cos\theta)。
中心向き: mg\cos\theta-N=m\dfrac{v^2}R。離れるのは N=0 のとき: g\cos\theta=2g(1-\cos\theta)、\cos\theta=\dfrac23
高さ R\cos\theta=0.30\times\dfrac23=0.20
中心から 0.20\ \mathrm{m} の高さ（g にも質量にもよらない）
中心向き: mg\cos\theta-N=m\dfrac{v^2}R。離れるのは N=0 のとき: g\cos\theta=2g(1-\cos\theta)、\cos\theta=\dfrac23
高さ R\cos\theta=0.30\times\dfrac23=0.20
中心から 0.20\ \mathrm{m} の高さ（g にも質量にもよらない）
注意最高点で v=0 でよいと考えるのは誤り（棒で支える場合は v\ge0 でよいが、糸では v^2\ge gL が必要）。