万有引力の位置エネルギーと脱出速度
着眼点無限遠を基準に U=-\dfrac{GMm}r（常に負）。無限遠まで飛んでいくには、力学的エネルギーが0以上であればよい。
U=-G\frac{Mm}r,\qquad \frac12mv^2-G\frac{Mm}r=E\ (\mathrm{const.})
例題
1
地表から打ち出した物体が地球の引力圏から脱出するための最小の速さ（第2宇宙速度）を求めよ。地球の半径 6.4\times10^6\ \mathrm{m}、g=9.8\ \mathrm{m/s^2} とする。空気抵抗と地球の自転は無視する。
解答
\frac12mv^2-\dfrac{GMm}R\ge0 より v\ge\sqrt{\dfrac{2GM}R}=\sqrt{2gR}
\sqrt{2\times9.8\times6.4\times10^6}=\sqrt{1.254\times10^8}=1.12\times10^4
1.1\times10^4\ \mathrm{m/s}（第1宇宙速度の \sqrt2 倍）
\sqrt{2\times9.8\times6.4\times10^6}=\sqrt{1.254\times10^8}=1.12\times10^4
1.1\times10^4\ \mathrm{m/s}（第1宇宙速度の \sqrt2 倍）
注意地表付近の mgh はこの式の近似。高さが地球の半径と比べて無視できないときは mgh を使わない。