人工衛星の円運動
着眼点万有引力が向心力の役をする。軌道半径が大きいほど遅く、周期は長い。
m\frac{v^2}r=G\frac{Mm}{r^2}\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\frac{GM}r},\qquad T=\frac{2\pi r}v=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}
例題
1
人工衛星の円軌道の半径を4倍にすると、速さと周期はそれぞれ何倍になるか。
解答
v\propto\dfrac1{\sqrt r} より \dfrac12 倍。T\propto r^{3/2} より 4^{3/2}=8 倍。
速さ \dfrac12 倍、周期 8 倍
速さ \dfrac12 倍、周期 8 倍
2
地表すれすれを回る人工衛星の周期を有効数字2桁で求めよ。地球の半径 6.4\times10^6\ \mathrm{m}、g=9.8\ \mathrm{m/s^2}、\pi=3.14 とする。
解答
GM=gR^2 を使うと T=2\pi\sqrt{\dfrac{R}{g}}=2\times3.14\times\sqrt{\dfrac{6.4\times10^6}{9.8}}=6.28\times808=5.07\times10^3
5.1\times10^3\ \mathrm{s}（約85分）
5.1\times10^3\ \mathrm{s}（約85分）