ボーアの原子模型（水素原子）
着眼点量子条件（円周がド・ブロイ波長の整数倍）と振動数条件（準位の差が光子のエネルギー）の2本柱。エネルギー準位は n^2 に反比例する。
\text{量子条件: } 2\pi r = n\frac{h}{mv}\quad\left(mvr = n\frac{h}{2\pi}\right),\qquad \text{振動数条件: } h\nu = E_m - E_nr_n = \frac{h^2}{4\pi^2kme^2}n^2,\qquad E_n = -\frac{13.6}{n^2}\ \mathrm{eV}
向心力はクーロン力: m\dfrac{v^2}{r} = k\dfrac{e^2}{r^2}。
例題
1
水素原子のエネルギー準位を E_n = -\dfrac{13.6}{n^2}\ \mathrm{eV} とする。n=3 から n=2 に移るとき出る光の波長を求めよ。h = 6.6\times10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}、c = 3.0\times10^8\ \mathrm{m/s}、1\ \mathrm{eV} = 1.6\times10^{-19}\ \mathrm{J}。
解答
\Delta E = 13.6\left(\frac14 - \frac19\right) = 13.6\times\frac{5}{36} \approx 1.89\ \mathrm{eV} = 3.02\times10^{-19}\ \mathrm{J}\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{1.98\times10^{-25}}{3.02\times10^{-19}} \approx 6.6\times10^{-7}\ \mathrm{m}（可視光の赤）
2
量子条件とクーロン力による円運動から、軌道半径 r_n が n^2 に比例することを示せ。
解答
量子条件より v = \dfrac{nh}{2\pi mr}。これを m\dfrac{v^2}{r} = k\dfrac{e^2}{r^2} すなわち mv^2 r = ke^2 に代入してm\cdot\frac{n^2h^2}{4\pi^2m^2r^2}\cdot r = ke^2 \ \Rightarrow\ r = \frac{h^2}{4\pi^2kme^2}n^2よって r_n \propto n^2。
ポイント光を出して落ちる先が n=1 ならライマン系列（紫外線）、n=2 ならバルマー系列（可視光を含む）、n=3 ならパッシェン系列（赤外線）。
注意E_n は負の値。「準位が高い」＝ n が大きく0に近い。電離エネルギー（n=1 から引き離す）は 13.6\ \mathrm{eV} で、符号を取り違えない。
確認問題
1
基底状態の水素原子を電離するのに必要なエネルギーは。
答え
13.6\ \mathrm{eV}（E_\infty - E_1 = 0 - (-13.6)）