重心の位置
着眼点重心は「質量で重みをつけた平均の位置」。くりぬいた物体は、くりぬいた部分を負の質量として扱う。
x_G=\frac{m_1x_1+m_2x_2+\cdots}{m_1+m_2+\cdots}
導出の一言: 重心で支えたとき、重力のモーメントの和が0になる点として決まる。
例題
1
長さ 0.60\ \mathrm{m}、質量 2.0\ \mathrm{kg} の一様な棒の右端に 1.0\ \mathrm{kg} のおもりをつけた。全体の重心は左端から何 m か。
解答
棒の重心は中点 0.30\ \mathrm{m}。x_G=\frac{2.0\times0.30+1.0\times0.60}{3.0}=\frac{1.2}{3.0}=0.400.40\ \mathrm{m}
2
半径 R の一様な円板から、半径 \dfrac R2 の円を、もとの円に内接するように切り取った。残りの部分の重心は、もとの円の中心からどちら側にどれだけ離れているか。
解答
質量は面積に比例。もとの円板を 4m とすると切り取る部分は m、残りは 3m。中心を原点、切り取る円の中心を x=\dfrac R2 とする。
（残り）＋（切り取る部分）＝（もとの円板）なので 3m\cdot x_G+m\cdot\dfrac R2=4m\cdot0
x_G=-\dfrac R6
切り取った側と反対向きに \dfrac R6
（残り）＋（切り取る部分）＝（もとの円板）なので 3m\cdot x_G+m\cdot\dfrac R2=4m\cdot0
x_G=-\dfrac R6
切り取った側と反対向きに \dfrac R6