斜方投射
着眼点初速度を v_0\cos\theta（水平）と v_0\sin\theta（鉛直）に分ける。あとは水平は等速、鉛直は投げ上げ。
v_x=v_0\cos\theta,\quad v_y=v_0\sin\theta-gtx=v_0\cos\theta\cdot t,\quad y=v_0\sin\theta\cdot t-\frac12gt^2
同じ高さに着地する場合: 最高点の時刻 \dfrac{v_0\sin\theta}{g}、高さ \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}、水平到達距離 R=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}{g}（45^\circ で最大）。
x と y から t を消すと軌道の式 y=x\tan\theta-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}x^2（放物線）。
例題
1
水平な地面から、仰角 30^\circ、初速 19.6\ \mathrm{m/s} で小球を投げた。最高点の高さと水平到達距離を求めよ。g=9.8\ \mathrm{m/s^2}、\sqrt3=1.73 とする。
解答
v_y の初め 19.6\sin30^\circ=9.8、v_x=19.6\cos30^\circ=9.8\sqrt3。
最高点: t=9.8/9.8=1.0\ \mathrm{s}、高さ 9.8\times1.0-4.9\times1.0^2=4.9\ \mathrm{m}
着地は 2.0\ \mathrm{s} 後、距離 9.8\times1.73\times2.0=33.9\cdots
4.9\ \mathrm{m}、34\ \mathrm{m}（検算: R=v_0^2\sin60^\circ/g=19.6\times2\times0.865\fallingdotseq33.9）
最高点: t=9.8/9.8=1.0\ \mathrm{s}、高さ 9.8\times1.0-4.9\times1.0^2=4.9\ \mathrm{m}
着地は 2.0\ \mathrm{s} 後、距離 9.8\times1.73\times2.0=33.9\cdots
4.9\ \mathrm{m}、34\ \mathrm{m}（検算: R=v_0^2\sin60^\circ/g=19.6\times2\times0.865\fallingdotseq33.9）
2
水平な地面から、初速 10\ \mathrm{m/s}、\sin\theta=0.60,\ \cos\theta=0.80 の向きに小球を投げた。水平に 4.0\ \mathrm{m} 離れた鉛直な壁に当たる時刻と高さを求めよ。g=9.8\ \mathrm{m/s^2} とする。
解答
v_x=8.0,\ v_{y0}=6.0\ \mathrm{m/s}。壁までの時間 4.0/8.0=0.50\ \mathrm{s}。
高さ 6.0\times0.50-4.9\times0.50^2=3.0-1.225=1.775
0.50\ \mathrm{s}、1.8\ \mathrm{m}（このとき v_y=6.0-4.9=1.1>0 でまだ上昇中）
高さ 6.0\times0.50-4.9\times0.50^2=3.0-1.225=1.775
0.50\ \mathrm{s}、1.8\ \mathrm{m}（このとき v_y=6.0-4.9=1.1>0 でまだ上昇中）
注意R=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}{g} は「投げた高さと同じ高さに落ちる」ときだけ。高さの違う所に落ちる問題で使うと間違える。
確認問題
1
同じ初速で仰角 30^\circ と 60^\circ で投げたとき、水平到達距離の関係は。
答え
等しい（\sin60^\circ=\sin120^\circ のため）。最高点は 60^\circ のほうが高い