一様な磁場中の等速円運動
着眼点ローレンツ力が向心力。半径は運動量に比例し、周期は速さによらない。
m\frac{v^2}{r} = qvB \ \Rightarrow\ r = \frac{mv}{qB},\qquad T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB}
例題
1
質量 1.7\times10^{-27}\ \mathrm{kg}、電気量 1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C} の陽子が 3.0\times10^6\ \mathrm{m/s} で 0.50\ \mathrm{T} の磁場に垂直に入った。円運動の半径と周期を求めよ。\pi = 3.14。
解答
r = \frac{1.7\times10^{-27}\times3.0\times10^6}{1.6\times10^{-19}\times0.50} = \frac{5.1\times10^{-21}}{8.0\times10^{-20}} \approx 6.4\times10^{-2}\ \mathrm{m}T = \frac{2\times3.14\times1.7\times10^{-27}}{8.0\times10^{-20}} \approx 1.3\times10^{-7}\ \mathrm{s}
2
電気量が同じで質量が m と 4m のイオンを、静止状態から同じ電位差 V で加速し、同じ磁場 B に垂直に入れた。円の半径の比を求めよ。
解答
qV = \frac12 mv^2 より v = \sqrt{2qV/m}。r = \frac{mv}{qB} = \frac1B\sqrt{\frac{2mV}{q}} \propto \sqrt mよって半径の比は 1 : 2（質量分析器の原理）。
ポイント円の中心はローレンツ力の向き（速度に垂直）の先にある。入射点で力の向きを決めると、どちら回りかが決まる。
確認問題
1
速さを2倍にすると、半径と周期はそれぞれ何倍か。
答え
半径2倍、周期は変わらない