空間ベクトル・座標設定
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要点
空間ベクトルは平面の議論をそのまま3成分に拡張したものであり、内積・大きさ・垂直条件の形は変わらない。座標の取り方は完全に自由なので、対称性に合わせて原点と軸を選ぶと計算量が劇的に減る。正四面体を立方体の頂点(1,1,1),(1,−1,−1),(−1,1,−1),(−1,−1,1)に埋め込むと、座標がすべて±1になり計算が簡単になる、というのがその典型例。
こんなときに使う
- 空間図形の問題を解く前に、対称性を活かせる座標設定がないか30秒考える
- 正四面体・立方体などの対称性の高い図形は特別な座標の取り方が有効
手順
- 1. 図形の対称性を確認する
- 2. 対称性に合わせて原点と座標軸を設定する
- 3. 各頂点の座標を決定し、以降はベクトルの計算に持ち込む
例題
A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)の三角形の重心を求めよ。
解答
- (A+B+C)/3=(1/3,1/3,1/3)
落とし穴
- 座標設定が対称性を無視しており式が汚いまま計算を続ける
- 対称性を無視した座標設定で計算が破綻する
なぜ大事か
東大の空間図形はベクトルか座標で殴るのが基本。原点と基底の取り方で計算量が10倍変わる
東大での出方
体積問題・最大最小問題での計算量を左右する最重要の判断。
確認問題
- 1辺2の正四面体を、重心が原点になるように座標設定せよ（発展的）
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「ベクトル」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。