垂線の足・点と平面の距離・射影
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要点
点から平面へ下ろした垂線の足Hは、PHが平面を張る2つのベクトルの両方と垂直になる点として決まる。この垂直条件を2本立てて連立することで、Hの座標が確定する。点と平面の距離の公式|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²)は、法線ベクトル(a,b,c)方向への正射影の長さとして導ける。
こんなときに使う
- 体積計算で『高さ』が必要な場面は、点と平面の距離の公式か垂線の足の計算を使う
手順
- 1. 平面の法線ベクトルを求める
- 2. 点と平面の距離の公式に代入する、または垂直条件を2本立てて垂線の足を求める
例題
点(1,1,1)と平面x+y+z=0の距離を求めよ。
解答
- |1+1+1|/√(1+1+1)=3/√3=√3
別解・ほかの見方
- 垂線の足を実際に求めてから距離を計算する方法もある
落とし穴
- 垂直条件を1本しか立てず、垂線の足が一意に決まらない
- 垂直条件を内積で2本立てるところを1本で済ませる
なぜ大事か
体積計算（高さ）と最短距離問題の心臓部
東大での出方
体積計算（高さ）と最短距離問題の心臓部。
確認問題
- 点(2,0,1)と平面2x−y+2z−3=0の距離を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「ベクトル」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。