内積（成分・なす角・垂直条件）
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要点
内積の成分表示a₁b₁+a₂b₂が定義|a||b|cosθと一致することは、余弦定理から導ける。|a−b|²を成分展開した式と余弦定理による式を比較すると両者が同じであることが分かる。長さ・角度・垂直をすべて内積という1つの演算で扱えることが、ベクトルが図形問題で強力な理由。
こんなときに使う
- 長さ・角度・垂直の条件はすべて内積で書けないか考える
- |a|²=a・aという関係を使って長さの計算を内積に統一する
手順
- 1. 内積の定義または成分表示を使う
- 2. なす角はcosθ=a・b/(|a||b|)から求める
- 3. 垂直条件はa・b=0
例題
a=(1,2),b=(3,−1)のなす角の余弦を求めよ。
解答
- a・b=1・3+2・(−1)=1
- |a|=√5,|b|=√10
- cosθ=1/(√5・√10)=1/(5√2)=√2/10
落とし穴
- 内積とベクトルの大きさの積を混同する
- |a|^2 = a·a の往復ができない
なぜ大事か
長さ・角度・垂直をすべて内積1つで書ける。図形問題の共通言語
東大での出方
空間図形の全ての土台。垂直条件・距離の計算に直結。
確認問題
- a=(2,−1),b=(1,3)の内積とcosθを求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「ベクトル」のノード
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