数え上げの原則（和の法則・積の法則・辞書式）

数学A ／ 場合の数 ／ 東大での重要度 ★★★★☆

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要点

数え上げで最初にすべきことは、公式を選ぶことではなく数える枠組みを決めることである。原理は2つしかない。排反な場合に分けて足す（和の法則）と、独立な選択を順に掛ける（積の法則）。順列も組合せも、この2つの帰結にすぎない。東大の確率で分母が作れない人は、この枠組みを持たずにいきなり C や P を使っている。数が小さければ辞書式に全部書き出す、という手が結局いちばん確実で、実験としても機能する。

こんなときに使う

• 場合分けできる → 和の法則（ただし互いに排反であることを確認する）
• 段階に分けられる → 積の法則（各段階の選択肢数が、前の選択に依存しないことを確認する）
• 制約のある位置がある（先頭が0でない、一の位が奇数など）→ 制約のある場所から先に決める
• 数が小さい → 辞書式に全部書き出す。実験にもなる
• 『〜でない』が多い → 余事象
• 直接数えにくい → 1対1に対応する別のものを数える

手順

1. 1. 何を1つと数えるのかを決める（区別する／しないをここで確定させる）
2. 2. 段階に分けられるか、場合分けが必要かを判断する
3. 3. 積の法則を使うときは、各段階の選択肢数が前の選択に依らないか確認する
4. 4. 依存するなら、制約の強い段階を先に持ってくる
5. 5. 和の法則を使うときは、場合が互いに排反か確認する
6. 6. n を小さくして書き出し、答えと一致するか検算する

例題

別解・ほかの見方

• 余事象で数える（偶数を数えて全体から引く）
• 1対1対応をつけて、数えやすい別のものに置き換える
• 小さい場合を全部書き出して規則を見つけ、一般化する（東大では実験そのものが誘導になっていることが多い）
• 樹形図を描く。場合分けの構造が視覚化され、漏れに気づきやすい

落とし穴

• 制約のある位置を後回しにして、選択肢数が前の選択に依存してしまう（最頻出）
• 和の法則で排反性を確認せず、重複して数える
• 区別する／しないを決めないまま数え始める
• 0 を含む問題で、先頭に 0 が来る場合を除き忘れる
• いきなりC・Pに飛びついて数え落とす

なぜ大事か

公式より先に「重複なく漏れなく数える枠組み」を持てるかどうか。東大の確率はここで決まる

東大での出方

単独で問われることはないが、確率の分母を作る作業として毎回必要になる。東大の確率が難しいのは確率の理論ではなく、この数え上げの設計が複雑だから。誘導の (1) で小さい場合を数えさせるのは、ここで枠組みを作らせるため。

確認問題

• 0, 1, 2, 3, 4 から異なる3個を選んで3桁の整数を作るとき、何個できるか（先頭に0が来ない）
• 上の問題で偶数は何個か（一の位が0のときとそうでないときで場合分けが必要）
• 3桁の整数のうち、各位の数字がすべて異なるものは何個か

発展

数えにくいものを、1対1対応で数えやすいものに翻訳する技術。最短経路の総数を『右と上の並べ方』に読み替えるのがその典型で、東大の格子点問題にも直結する。

前提になるノード

• 集合と要素の個数

このノードを前提にするノード

• 順列・組合せ
• 確率の定義（同様に確からしい・根元事象の設定）

「場合の数」のノード

• 数え上げの原則（和の法則・積の法則・辞書式）
• 順列・組合せ
• 同じものを含む順列・円順列・じゅず順列
• 組分け・重複組合せ（仕切り）
• 包除原理・余事象で数える

解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。

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