集合と要素の個数
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要点
n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)という式の『引く』理由は、共通部分の要素が2回数えられていることの補正にすぎない。この『各要素が何回数えられたか』という視点があれば、3つ以上の集合でも符号を自分で導ける。包除原理は場合の数・確率の中核をなす発想で、ここでの理解の深さがそのまま後の単元の理解度を決める。
こんなときに使う
- 『AまたはB』の個数を求める問題は包除原理を疑う
- 3つ以上の条件がある個数問題は、各要素が何回数えられているかを意識する
手順
- 1. 各集合の要素数と共通部分の要素数を求める
- 2. n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)を適用する
- 3. 3つ以上なら単独の和−2つの共通の和+3つの共通、と符号を交互にする
例題
1から100までの整数のうち、2の倍数または3の倍数は何個か。
解答
- 2の倍数：50個、3の倍数：33個、6の倍数（両方の倍数）：16個。
- n(A∪B)=50+33−16=67個。
- 検算：6の倍数を2回数えていた分を1回引いたので、重複のない正しい個数になる。
別解・ほかの見方
- 余事象（どちらの倍数でもない個数）を100から引いて求める方法もある
落とし穴
- 共通部分を引くのを忘れて単純に足し算する
- 3つの集合で符号を全部+にしてしまう
なぜ大事か
包除原理は場合の数の中核
東大での出方
単独出題は少ないが、場合の数・確率の基礎体力として常に必要。
確認問題
- 1〜100で2,3,5のいずれの倍数でもない数は何個か
このノードを前提にするノード
「集合と命題」のノード
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。