円の方程式・円と直線の位置関係
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要点
円は中心からの距離が一定の点の集合という定義から出発すると、方程式(x−a)²+(y−b)²=r²は距離の式の両辺を2乗しただけと分かる。円と直線の位置関係を中心と直線の距離dで判定する方法は、判別式で解いても同じ結論になるが、距離のほうが計算が軽い。
こんなときに使う
- 円と直線の交点の個数は、判別式よりも中心と直線の距離で判定するほうが速いことが多い
手順
- 1. 円の中心と半径を確認する
- 2. 中心と直線の距離dを求める
- 3. dと半径rの大小を比較する（d<rで交わる、d=rで接する、d>rで交わらない）
例題
円x²+y²=4と直線y=x+kが接するkの値を求めよ。
解答
- 直線をx−y+k=0とすると、中心(0,0)からの距離は|k|/√2。
- 接する条件：|k|/√2=2 より |k|=2√2、k=±2√2
別解・ほかの見方
- 連立して判別式D=0で解く方法もある
落とし穴
- 距離の公式と判別式の使い分けを意識せず、常に判別式で計算して手間が増える
なぜ大事か
判別式と中心距離の2通りで処理を選べること
東大での出方
座標幾何の基礎。軌跡・領域の前提技術。
確認問題
- 円x²+y²=9と直線3x+4y=kが接するkの値を求めよ
前提になるノード
このノードを前提にするノード
「図形と方程式」のノード
- 直線の方程式・点と直線の距離
- 円の方程式・円と直線の位置関係
- 軌跡（動点の条件を式にする）
- 不等式の表す領域・線形計画
- 通過領域（存在条件に読み替える）
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。