円の性質（方べき・接弦角・四点共円）
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要点
方べきの定理PA・PB=PC・PDは、円周角の定理から導かれる三角形の相似（△PAC∽△PDB）の帰結にすぎない。四点共円の判定（対角の和が180°、または同じ弦を見る角が等しい）に気づけると、座標やベクトルに頼らず初等幾何だけで難問が一瞬で解けることがある。座標に逃げると計算量が爆発する場面で、この視点が最後の武器になる。
こんなときに使う
- 円が絡む図形問題で、角度の情報が多いときは四点共円を疑う
- 円外の点から引いた2本の割線・接線の長さの積が絡む問題は方べきの定理
手順
- 1. 円周角の定理で等しい角を見つける
- 2. 方べきの定理、接弦角の定理を適用する
- 3. 四点共円が使えないか、角度の条件を確認する
例題
円外の点Pから引いた割線がA,Bで交わり、PA=2,PB=8のとき接線の長さPTを求めよ。
解答
- 方べきの定理よりPT²=PA・PB=2・8=16
- ∴ PT=4
別解・ほかの見方
- 座標やベクトルで力任せに解くこともできるが、計算量が大きく増える
落とし穴
- 方べきの定理の対応（どの線分とどの線分の積か）を取り違える
- 座標・ベクトルに逃げて計算量が爆発する
なぜ大事か
四点共円に気づけるかで初等幾何の難問が一瞬で落ちる
東大での出方
四点共円に気づけるかで初等幾何の難問が一瞬で落ちる。座標に頼れない問題の逃げ道。
確認問題
- 円に内接する四角形ABCDで、∠A=100°のとき∠Cを求めよ
前提になるノード
「図形の性質」のノード
- チェバ・メネラウス・角の二等分線
- 円の性質（方べき・接弦角・四点共円）
- 空間の位置関係・多面体
解説は自作です。誤りに気づいたら お問い合わせ（/contact/）から教えてください。